Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη Μαθηματική Ανάλυση, την Τοπολογία, την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών και τη Διαφορική γεωμετρία, προωθώντας τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση αργότερα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Κατά τον D. Struik «με τον Ρίμαν φτάνουμε στον άνθρωπο που επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών».
Ο Ρίμαν γεννήθηκε στο Μπρέζελεντς (Breselenz), ένα χωριό κοντά στο Ντάνενμπεργκ, στο κρατίδιο Ανόβερο της Γερμανίας. Ο πατέρας του, ο Friedrich Bernhard Riemann, ήταν ένας φτωχός Λουθηρανός πάστορας στο χωριό και είχε πολεμήσει στους Ναπολεόντειους Πολέμους. Η μητέρα του πέθανε πριν μεγαλώσουν τα παιδιά της. Ο Ρίμαν ήταν το δεύτερο από 6 παιδιά, ντροπαλός και με νευρικές καταρρεύσεις. Ωστόσο, έδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, όπως αφάνταστη ταχύτητα στους υπολογισμούς, από μικρή ηλικία, αλλά υπέφερε από δειλία και φόβο να μιλά δημόσια.
Στο σχολείο ο Ρίμαν μελέτησε πολύ τη Βίβλο αλλά το μυαλό του συχνά γυρνούσε στα Μαθηματικά. Προσπάθησε ακόμα και να αποδείξει μαθηματικά την ορθότητα της Γενέσεως. Οι δάσκαλοί του έμεναν κατάπληκτοι από την ευφυΐα του και την ικανότητά του να εκτελεί εξαιρετικά πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις. Συχνά ξεπερνούσε τις γνώσεις του δασκάλου του. Το 1840 ο Ρίμαν πήγε στο Ανόβερο να ζήσει με τη γιαγιά του, ώστε να σπουδάσει παραπέρα. Μετά τον θάνατό της το 1842, γράφτηκε στο Johanneum («Ιωάννειο Λύκειο») στο Λύνεμπουργκ. Το 1846, σε ηλικία 19 ετών, άρχισε να μελετά Φιλολογία και Θεολογία ώστε να γίνει ιερέας και να βοηθήσει έτσι οικονομικά την οικογένειά του. Αλλά τον επόμενο χρόνο, ο πατέρας του, αφού κατόρθωσε να συγκεντρώσει με μεγάλες δυσκολίες αρκετά χρήματα για να τον στείλει στο πανεπιστήμιο, του επέτρεψε να αφήσει τη Θεολογία και να αρχίσει σπουδές στα Μαθηματικά. Τον έστειλε στο ονομαστό Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, όπου συνάντησε τον μεγάλο μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους και παρακολούθησε διαλέξεις του πάνω στη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.
Σύντομα ωστόσο ο Ρίμαν μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου δίδασκαν οι Γιακόμπι, Ντίριχλετ και Στάινερ. Παρέμεινε στο Βερολίνο επί διετία και επέστρεψε στο Γκέτινγκεν το 1849.
Ο Ρίμαν άρχισε να δίνει διαλέξεις το 1854, διαλέξεις που θεμελίωσαν τη Γεωμετρία που σήμερα αποκαλείται «Ριμάνεια». Μετά από μια αποτυχημένη προσπάθεια να γίνει καθηγητής κατ’ εξαίρεση στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν σε ηλικία μόλις 31 ετών (το 1857), ο Ρίμαν απέκτησε ένα κανονικό μισθό. Το 1859 τελικά, μετά τον θάνατο των Γκάους και Ντίριχλετ, εκλέχθηκε καθηγητής και επικεφαλής του Τμήματος Μαθηματικών εκεί. Υπήρξε ο πρώτος που εισηγήθηκε τη θεωρία των ανώτερων διαστάσεων, που απλοποίησε πολύ προβλήματα της Φυσικής, μέχρι σήμερα.
Το 1862 ο Ρίμαν νυμφεύθηκε την Elise Koch, με την οποία απέκτησαν μία κόρη. Τέσσερα χρόνια αργότερα, ο Μπέρναρντ Ρίμαν πέθανε από φυματίωση στο τρίτο του ταξίδι στην Ιταλία, στη Σελάσκα, στις ακτές της Λίμνης Ματζόρε, όπου παραθέριζε εξαιτίας του καλού κλίματος για την πάθησή του. Τάφηκε στο Μπιγκαντσόλο (Biganzolo) της Βερμπανία (Verbania).
Η επίδρασή του στα Μαθηματικά
Το έργο του Ρίμαν άνοιξε νέες ερευνητικές περιοχές συνδυάζοντας την Ανάλυση με τη Γεωμετρία. Εκτός από τη Ριμάνεια Γεωμετρία, η θεωρία των επιφανειών Ρίμαν αναπτύχθηκε παραπέρα από τους Φέλιξ Κλάιν και Άντολφ Χούρεβιτς και σήμερα συνιστά ένα από τα θεμέλια της Τοπολογίας, ενώ εφαρμόζεται ακόμα με νέους τρόπους στη Μαθηματική Φυσική.
Ο Ρίμαν προσέφερε πολλά στην Πραγματική Ανάλυση: όρισε το ολοκλήρωμα Ρίμαν με τη βοήθεια των αθροισμάτων Ρίμαν, ανέπτυξε μια θεωρία για τις τριγωνομετρικές σειρές που δεν είναι σειρές Φουριέ — ένα πρώτο βήμα για μια θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων — και μελέτησε το διαφορικό ολοκλήρωμα Ρίμαν-Λιουβίλ.
Πολύ γνωστές είναι και κάποιες συνεισφορές του Ρίμαν στη σύγχρονη Αναλυτική Θεωρία των αριθμών. Σε μία και μόνη σύντομη δημοσίευση (τη μοναδική του επί της Αριθμοθεωρίας), εισήγαγε τη Συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έδειξε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διετύπωσε μια σειρά από εικασίες σχετικές με ιδιότητες της συναρτήσεως ζ, μία από τις οποίες είναι η περιβοήτη Υπόθεση του Ρίμαν.
Ο Ρίμαν εφάρμοσε την Αρχή του Dirichlet από τον Λογισμό των μεταβολών με σπουδαία αποτελέσματα. Η εργασία του στη μονοδρομία και στην υπεργεωμετρική συνάρτηση στους μιγαδικούς έκανε μεγάλη εντύπωση και καθιέρωσε μια βασική μέθοδο εργασίας με συναρτήσεις «λαβαίνοντας υπόψη μόνο τις ανωμαλίες τους».
Ευκλείδεια και Ριμάνεια Γεωμετρία
Το 1853, ο Γκάους ζήτησε από τον φοιτητή του Ρίμαν να ετοιμάσει και να παρουσιάσει μια διατριβή επί υφηγεσία πάνω στα θεμέλια της Γεωμετρίας. Μετά από πολλούς μήνες ο Ρίμαν ανέπτυξε τη θεωρία του για τις ανώτερες διαστάσεις. Όταν τελικά έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό. Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη Γεωμετρία. Ο τίτλος της ήταν Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας»).
Αυτό που θεμελίωσε η παραπάνω εργασία ήταν η Ριμάνεια Γεωμετρία. Ο Ρίμαν βρήκε τον σωστό τρόπο να επεκτείνει σε «ν» διαστάσεις τη Διαφορική γεωμετρία των επιφανειών, την οποία ο ίδιος ο Γκάους είχε αποδείξει με το theorema egregium. Το θεμελιώδες εδώ είναι ο Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Για την περίπτωση μιας επιφάνειας, αυτός μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό (βαθμωτό), θετικό, αρνητικό ή μηδέν: οι μη μηδενικές και σταθερές περιπτώσεις είναι τα μοντέλα των γνωστών μη ευκλείδειων γεωμετριών.
Ανώτερες διαστάσεις
Η ιδέα του Ρίμαν ήταν να εισαγάγει ένα σύνολο αριθμών για κάθε σημείο του χώρου που θα περιέγραφαν το πόσο καμπυλωμένος ήταν. Βρήκε ότι στις 4 χωρικές διαστάσεις χρειάζονται 10 αριθμοί σε κάθε σημείο για την πλήρη περιγραφή των ιδιοτήτων μιας πολλαπλότητας, όσο και όπως παραμορφωμένη και να είναι αυτή. Αυτός είναι ο περίφημος μετρικός τανυστής.
Yπόθεση Riemann
Ο κατάλογος των συνεισφορών στη γεωμετρία είναι μεγάλος, και έχει ένα ευρύ φάσμα από θεωρήματα που φέρουν το όνομά του. Ωστόσο, είναι ίσως πιο διάσημος (ή ίσως και διάσημος με την κακή έννοια) για την θρυλική «Riemann Hypothesis», ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πρόβλημα σχετικά με το θέμα της κατανομής των πρώτων αριθμών. Αγνοήθηκε σε μεγάλο βαθμό για τα πρώτα 50 χρόνια της εμφάνισής του, άλλα χάρη σε κάποιους μαθηματικούς, οι οποίοι πραγματικά κατανόησαν το έργο του την κατάλληλη χρονική στιγμή, κατάφερε να αναδυθεί γρήγορα και να γίνει ένα από τα μεγαλύτερα αναπάντητα ερωτήματα της σύγχρονης επιστήμης, μπλέκοντας και συγχίζοντας ακόμα και τους μεγαλύτερους μαθηματικούς.
Το πραγματικό μέρος (κόκκινο) και το φανταστικό μέρος (μπλε) της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, καθώς και η κρίσιμη ευθεία Re(s) = 1/2. Οι πρώτες μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης, εμφανίζονται στα Im(s) = ±14.135, ±21.022 and ±25.011.
Αν και έχει σημειωθεί πρόοδος, αυτή υπήρξε εξαιρετικά αργή. Ωστόσο, ένα βραβείο των 1 εκατομμυρίων δολαρίων έχει προσφερθεί από το «Clay Maths Institute» για την απόδειξη, και κάποιος θα λάβει αναμφίβολα και ένα μετάλλιο Fields, αν είναι κάτω από 40 (το Νόμπελ των μαθηματικών). Η επίδραση μιας τέτοιας απόδειξης, εκτιμάται ότι θα είναι μεγάλη: σημαντικά συστήματα κρυπτογράφησης πιστεύεται ότι θα είναι εύθραυστα με μια τέτοια απόδειξη, και όλα αυτά που βασίζονται σε αυτά θα καταρρεύσουν. Όπως και αυτό, μια ενδεχόμενη απόδειξη της υπόθεσης αναμένεται να χρησιμοποιήσει «νέα μαθηματικά». Φαίνεται ότι, ακόμα και μετά τον θάνατό του, το έργο Riemann μπορεί ακόμα να ανοίξει το δρόμο για νέες συνεισφορές στον τομέα, όπως ακριβώς συνέβαλε και όσο ήταν εν ζωή.
